Euclides fue un matemático griego, que vivió alrededor del año 300 a C. (325 adC)-(265 adC). Su vida es poco conocida excepto que vivió en Alejandría, Egipto.

Su libro “Los elementos”, es una de las obras científicas más conocidas del mundo. En ellas se presenta  de manera formal, partiendo de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos, conos, etc…; es decir, las formas regulares.

Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Algunos de los más conocidos  son, por ejemplo:

• La suma de los ángulos interiores de cualquier triangulo es de 180º.

• En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso Teorema de Pitágoras.

La geometría de Euclides, además de ser un gran instrumento de razonamiento deductivo, ha sido muy útil en muchos campos del  conocimiento: en física, astronomía, química y diversas ingenierías. También, muy útil en matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II, se formuló, la teoría ptolomeica del Universo y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, es decir, círculos y combinaciones de círculos. Las ideas de Euclides constituyen una gran abstracción de la realidad. Intento resumir todo el saber matemático en sus libros “Los elementos”. La geometría de Euclides fue una obra que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX.

De los axiomas de partida, solamente el de las paralelas parecía menos evidente. Varios autores intentaron prescindir sin éxito de dicho axioma intentándolo colegir del resto de axiomas. Algunos crearon nuevos basándose en sustituir o invalidar el axioma de las paralelas, dando origen a las “geometrías no euclidianas”, que tienen como característica principal que al cambiar el axioma de las paralelas los ángulos de un triangulo ya no suman 180 grados.

Los elementos

Es un tratado matemático y geométrico compuesto de 13 libros. Es considerado uno de los libros de texto de más éxito de la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia. Aun hoy se utiliza por algunos profesores como introducción básica a la geometría.

Euclides recopila en él gran parte del saber matemático de su época, representados en el sistema axiomático conocido como Postulados de Euclides, que de una forma sencilla y lógica dan lugar a la geometría euclidiana.

En el primer libro, Euclides desarrolla 48 proposiciones a partir de 23 definiciones, como punto, línea y superficie, 5 postulados y 5 nociones comunes o axiomas. Entre estas proposiciones se encuentra la demostración del teorema de Pitágoras.

Las nociones comunes de los elementos son:

1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.

2. Si se añaden iguales a iguales, los todos son iguales.

3. Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales.

4. Las cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.

5. El todo es mayor que la parte.

Los postulados de los elementos son:

1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualquiera.

2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.

3. Dado un segmento de línea recta, se puede dibujar un círculo con cualquier centro y distancia.

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. Si una línea recta corta a otras dos, de manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores de dos rectos.

Este último postulado que es conocido como el de las paralelas, fue reformulado como:

• Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.

Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro y muchos geómetras han intentado deducirlo sin conseguirlo. Al construirse la geometría hiperbólica en la que este postulado es falso, se demostró que esto no era posible.

Estos principios básicos reflejan el interés de Euclides por la geometría constructiva al igual que los matemáticos griegos y helenísticos de la época. A pesar de ser un trabajo de geometría, el libro incluye resultados que se pueden clasificar dentro de la teoría de los números. Euclides describe los resultados en teoría de números dentro de la geometría porque no pudo desarrollar una aproximación constructiva a la aritmética.

Mar Ríos Gutiérrez